Disiplin-disiplin utama di dalam matematika
pertama muncul karena kebutuhan akan perhitungan di dalam perdagangan, untuk
memahami hubungan antarbilangan, untuk mengukur tanah, dan untuk meramal
peristiwa astronomi.
Empat kebutuhan ini secara kasar dapat dikaitkan dengan pembagian-pembagian kasar matematika ke dalam pengkajian besaran, struktur, ruang, dan perubahan (yakni aritmetika, aljabar, geometri, dan analisis). Selain pokok bahasan itu, juga terdapat pembagian-pembagian yang dipersembahkan untuk pranala-pranala penggalian dari jantung matematika ke lapangan-lapangan lain: ke logika, ke teori himpunan (dasar), ke matematika empirik dari aneka macam ilmu pengetahuan (matematika terapan), dan yang lebih baru adalah ke pengkajian kaku akan ketakpastian.
Empat kebutuhan ini secara kasar dapat dikaitkan dengan pembagian-pembagian kasar matematika ke dalam pengkajian besaran, struktur, ruang, dan perubahan (yakni aritmetika, aljabar, geometri, dan analisis). Selain pokok bahasan itu, juga terdapat pembagian-pembagian yang dipersembahkan untuk pranala-pranala penggalian dari jantung matematika ke lapangan-lapangan lain: ke logika, ke teori himpunan (dasar), ke matematika empirik dari aneka macam ilmu pengetahuan (matematika terapan), dan yang lebih baru adalah ke pengkajian kaku akan ketakpastian.
Besaran
Pengkajian besaran dimulakan dengan bilangan,
pertama bilangan asli
dan bilangan bulat
("semua bilangan") dan operasi aritmetika di ruang bilangan itu, yang
dipersifatkan di dalam aritmetika.
Sifat-sifat yang lebih dalam dari bilangan bulat dikaji di dalam teori bilangan,
dari mana datangnya hasil-hasil popular seperti Teorema
Terakhir Fermat. Teori bilangan juga memegang dua masalah
tak terpecahkan: konjektur prima kembar
dan konjektur
Goldbach.
Karena sistem bilangan dikembangkan lebih
jauh, bilangan bulat diakui sebagai himpunan bagian
dari bilangan rasional
("pecahan"). Sementara bilangan
pecahan berada di dalam bilangan real,
yang dipakai untuk menyajikan besaran-besaran kontinu.
Bilangan real diperumum menjadi bilangan kompleks.
Inilah langkah pertama dari jenjang bilangan yang beranjak menyertakan kuarternion dan oktonion. Perhatian terhadap
bilangan asli juga mengarah pada bilangan transfinit,
yang memformalkan konsep pencacahan ketakhinggaan. Wilayah lain pengkajian
ini adalah ukuran, yang mengarah pada bilangan kardinal
dan kemudian pada konsepsi ketakhinggaan lainnya: bilangan aleph, yang memungkinkan
perbandingan bermakna tentang ukuran himpunan-himpunan besar ketakhinggaan.
Ruang
Pengkajian ruang bermula dengan geometri –
khususnya, geometri euclid. Trigonometri
memadukan ruang dan bilangan, dan mencakupi Teorema pitagoras yang terkenal. Pengkajian
modern tentang ruang memperumum gagasan-gagasan ini untuk menyertakan geometri
berdimensi lebih tinggi, geometri tak-euclid
(yang berperan penting di dalam relativitas umum)
dan topologi.
Besaran dan ruang berperan penting di dalam geometri analitik, geometri diferensial,
dan geometri aljabar.
Di dalam geometri diferensial terdapat konsep-konsep buntelan serat dan kalkulus lipatan.
Di dalam geometri aljabar terdapat penjelasan
objek-objek geometri sebagai himpunan penyelesaian persamaan polinom, memadukan konsep-konsep
besaran dan ruang, dan juga pengkajian grup topologi, yang memadukan struktur
dan ruang. Grup lie biasa dipakai untuk
mengkaji ruang, struktur, dan perubahan. Topologi di
dalam banyak percabangannya mungkin menjadi wilayah pertumbuhan terbesar di
dalam matematika abad ke-20, dan menyertakan konjektur poincaré yang
telah lama ada dan teorema empat warna,
yang hanya "berhasil" dibuktikan dengan komputer, dan belum pernah
dibuktikan oleh manusia secara manual.
Perubahan
Memahami dan menjelaskan perubahan adalah
tema biasa di dalam ilmu
pengetahuan alam, dan kalkulus
telah berkembang sebagai alat yang penuh-daya untuk menyeledikinya. Fungsi-fungsi
muncul di sini, sebagai konsep penting untuk menjelaskan besaran yang berubah.
Pengkajian kaku tentang bilangan real
dan fungsi-fungsi berpeubah real dikenal sebagai analisis real, dengan analisis kompleks lapangan yang setara untuk
bilangan kompleks.
Hipotesis Riemann,
salah satu masalah terbuka yang paling mendasar di dalam matematika, dilukiskan
dari analisis kompleks. Analisis fungsional
memusatkan perhatian pada ruang fungsi (biasanya
berdimensi tak-hingga). Satu dari banyak terapan analisis fungsional adalah mekanika kuantum.
Banyak masalah secara alami mengarah pada
hubungan antara besaran dan laju perubahannya, dan ini dikaji sebagai persamaan
diferensial. Banyak gejala di alam dapat dijelaskan
menggunakan sistem dinamika; teori kekacauan mempertepat jalan-jalan di
mana banyak sistem ini memamerkan perilaku deterministik
yang masih saja belum terdugakan.
Struktur
Banyak objek matematika, semisal himpunan
bilangan dan fungsi,
memamerkan struktur bagian dalam. Sifat-sifat struktural objek-objek ini diselidiki
di dalam pengkajian grup, gelanggang, lapangan
dan sistem abstrak lainnya, yang mereka sendiri adalah objek juga. Ini adalah
lapangan aljabar abstrak.
Sebuah konsep penting di sini yakni vektor,
diperumum menjadi ruang vektor,
dan dikaji di dalam aljabar linear.
Pengkajian vektor memadukan tiga wilayah dasar matematika: besaran, struktur,
dan ruang. Kalkulus vektor
memperluas lapangan itu ke dalam wilayah dasar keempat, yakni perubahan. Kalkulus tensor mengkaji kesetangkupan
dan perilaku vektor yang dirotasi. Sejumlah masalah kuno
tentang Kompas dan konstruksi garis
lurus akhirnya terpecahkan oleh Teori galois.
Dasar
dan filsafat
Untuk memeriksa dasar-dasar matematika,
lapangan logika matematika
dan teori himpunan
dikembangkan, juga teori kategori
yang masih dikembangkan. Kata majemuk "krisis dasar" mejelaskan
pencarian dasar kaku untuk matematika yang mengambil tempat pada dasawarsa
1900-an sampai 1930-an.[28]
Beberapa ketaksetujuan tentang dasar-dasar matematika berlanjut hingga kini.
Krisis dasar dipicu oleh sejumlah silang sengketa pada masa itu, termasuk kontroversi teori himpunan
Cantor dan kontroversi Brouwer-Hilbert.
Logika matematika diperhatikan dengan
meletakkan matematika pada sebuah kerangka kerja aksiomatis yang kaku, dan mengkaji
hasil-hasil kerangka kerja itu. Logika matematika adalah rumah bagi Teori ketaklengkapan kedua
Gödel, mungkin hasil yang paling dirayakan di
dunia logika, yang (secara informal) berakibat bahwa suatu sistem formal yang berisi aritmetika
dasar, jika suara (maksudnya semua teorema yang dapat dibuktikan adalah
benar), maka tak-lengkap (maksudnya terdapat teorema sejati yang tidak
dapat dibuktikan di dalam sistem itu).
Gödel menunjukkan cara mengonstruksi, sembarang kumpulan aksioma bilangan
teoretis yang diberikan, sebuah pernyataan formal di dalam logika yaitu sebuah
bilangan sejati-suatu fakta teoretik, tetapi tidak mengikuti aksioma-aksioma
itu. Oleh karena itu, tiada sistem formal yang merupakan aksiomatisasi sejati
teori bilangan sepenuhnya. Logika modern dibagi ke dalam teori rekursi, teori model, dan teori pembuktian, dan terpaut dekat dengan ilmu komputer teoretis.
Matematika
diskret
Matematika
diskret adalah nama lazim untuk lapangan matematika
yang paling berguna di dalam ilmu komputer teoretis.
Ini menyertakan teori komputabilitas, teori kompleksitas
komputasional, dan teori informasi.
Teori komputabilitas memeriksa batasan-batasan berbagai model teoretis
komputer, termasuk model yang dikenal paling berdaya - Mesin turing.
Teori kompleksitas adalah pengkajian
traktabilitas oleh komputer; beberapa masalah, meski secara teoretis
terselesaikan oleh komputer, tetapi cukup mahal menurut konteks waktu dan
ruang, tidak dapat dikerjakan secara praktis, bahkan dengan cepatnya kemajuan perangkat keras
komputer. Pamungkas, teori informasi memusatkan perhatian pada banyaknya data
yang dapat disimpan pada media yang diberikan, dan oleh karenanya berkenaan
dengan konsep-konsep semisal pemadatan dan entropi.
Sebagai lapangan yang relatif baru,
matematika diskret memiliki sejumlah masalah terbuka yang mendasar. Yang paling
terkenal adalah masalah "P=NP?", salah satu Masalah Hadiah Milenium.[29]
Matematika
terapan
Matematika
terapan berkenaan dengan penggunaan alat matematika
abstrak guna memecahkan masalah-masalah konkret di dalam ilmu pengetahuan, bisnis, dan wilayah lainnya. Sebuah
lapangan penting di dalam matematika terapan adalah statistika,
yang menggunakan teori peluang sebagai alat dan
membolehkan penjelasan, analisis, dan peramalan gejala di mana peluang
berperan penting. Sebagian besar percobaan, survey, dan pengkajian pengamatan
memerlukan statistika. (Tetapi banyak statistikawan,
tidak menganggap mereka sendiri sebagai matematikawan, melainkan sebagai
kelompok sekutu.)
Analisis numerik
menyelidiki metode komputasional untuk memecahkan masalah-masalah matematika
secara efisien yang biasanya terlalu lebar bagi kapasitas numerik manusia,
analisis numerik melibatkan pengkajian galat pemotongan atau sumber-sumber galat
lain di dalam komputasi.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar